Kevään 2023 pitkän matematiikan yo-koe – lue asiantuntijan analyysi

Tällainen oli pitkän matematiikan yo-koe keväällä 2023

Matematiikan ylioppilaskokeet järjestettiin keskiviikkona 22.3.2023. Pitkän matematiikan yo-kokeen A-osa oli tavallista työläämpi. B1-osassa tehtävien välillä oli havaittavissa valtavaa tasoeroa. B2-osassa puolestaan korostuivat funktioiden muunnokset.

A-osassa aikaa vieviä tehtäviä

Yleisesti ottaen A-osa oli normaalia työläämpi, vaikka vaikeusasteeltaan se ei poikennut merkittävästi aikaisemmista vuosista. Ensimmäinen tehtävä ei sisältänyt ollenkaan yhtälönratkaisua, funktion arvon laskemista tai muita vastaavantyyppisiä tuttuja tehtäviä, joita on ollut aikaisemmin esimerkiksi sekä kevään 2022 että syksyn 2022 kokeissa. Tämä saattoi aiheuttaa jonkin verran hämmennystä jo heti alussa.

Erityisesti A-osan toiseen tehtävään kokelailta on todennäköisesti kulunut enemmän aikaa kuin kokeen alkupään pariin ensimmäiseen tehtävään keskimäärin aikaisempina vuosina. Kyseisessä tehtävässä on kaksitoista yhtälöä ja kaksitoista kuvaajaa, joista pitää osata muodostaa yhdeksän paria ilman piirto-ohjelmia.

Koska kyseessä on vasta kokeen toinen tehtävä, hieman pienempikin määrä yhtälöitä ja kuvaajia olisi mielestäni ajanut oleellisesti saman asian. Kuitenkin tehtävän idea on loistava, koska edelleen nykyaikana, kun tietokoneet piirtävät kuvaajat suurelta osin ihmisten puolesta, on tärkeää säilyttää ymmärrys siitä, miltä tehtävässä esiintyneiden yksinkertaisten funktioiden kuvaajat näyttävät ilman piirto-ohjelmien apua.

A-osan toisesta tehtävästä ei kuitenkaan tee työlästä pelkästään yhtälöiden ja kuvaajien varsin suuri määrä, vaan haastavuutta lisännee jonkin verran myös se, että funktioiden muunnoksia (englanniksi transformations of functions) ei käsitellä Suomen oppilaitoksissa samassa laajuudessa kuin esimerkiksi Yhdysvalloissa.

A-osan toinen tehtävä on toki tällaisten muunnosten kannalta katsottuna eräs yksinkertaisimmista, mitä voi kuvitella. Näin ollen tehtävästä pystyi selviytymään hyvin ilman syvällisempää ymmärrystä esimerkiksi siitä, miten kuvaajat y = f(x) ja y = f(x-a) eroavat toisistaan. Tässä tapauksessa siis a:n vaikutus on se, että se siirtää alkuperäistä kuvaajaa vasemmalle tai oikealle säilyttäen muuten kuvaajan muodon.

B1-osan tehtävät kompensoivat A-osan tehtäviä suoraviivaisuudellaan

Keskimääräistä työläämpi A-osa alkoi kompensoitua jo heti ensimmäisessä B1-osan tehtävässä. Kyseinen ”taikaneliöön” liittyvä tehtävä on erittäin suoraviivainen ja yksinkertainen ollakseen pitkän matematiikan B1-osan tehtävä. Koska tässä vaiheessa koetta käytössä ovat jo laskinohjelmat, lineaarista yhtälöparia, johon tehtävä perustuu, ei edes tarvitse ratkaista käsin. Toki yhtälöpari täytyy osata muodostaa itse, mutta tässä tilanteessa muodostamisvaihe on ehkäpä yksinkertaisin mahdollinen.

B1-osan toinen tehtävä, jossa pyydetään laskemaan erään pyörähdysparaboloidin tilavuus, on myös hyvin suoraviivainen, koska taulukoista löytyy suoraan kaava tällaisen kappaleen tilavuuden laskemiseen. Määrätyn integraalin, jonka avulla kyseinen pyörähdysparaboloidin kaava itse asiassa johdetaan, kautta tehtävän voi ratkaista, kun ensin muodostaa paraabelin yhtälön.

Lukiokirjoissa tästä edetään tyypillisesti siten, että ratkaistaan paraabelin yhtälöstä x, minkä jälkeen muodostetaan määrätty integraali muuttujan y avulla. Tämä menetelmä tunnetaan englanninkielisessä kirjallisuudessa nimellä disc method.

Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää menetelmää nimeltä shell method, joka tarkoittaa tässä tilanteessa määrätyn integraalin muodostamista muuttujan x avulla. Molemmilla tavoilla päädytään luonnollisesti tismalleen samaan lopputulokseen. Oheiset integraalit on saatu siten, että paraabeli, jonka annetaan pyörähtää y-akselin ympäri, on sijoitettu siten, että se leikkaa x-akselin pisteissä (-1.65, 0) ja (1.65, 0), ja että sen huippu sijaitsee pisteessä (0, 4.5).

Tasoero B1-tehtävien sisällä oli mielestäni valtava tänä vuonna, mikä konkretisoituu, kun tarkastellaan induktiotodistukseen liittyvään tehtävään numero kahdeksan. Jo tässä kohtaa korostan, että tehtävä on mielestäni hyvä, mutta ongelma tulee siitä, että se ei ole ollenkaan samassa linjassa muiden B1-osan tehtävien kanssa.

Yllä oleva tehtävä 8 on ihan toista vaikeusastetta kahteen aikaisempaan tehtävään verrattuna. Jo pelkästään tämän tehtävän a-kohta yksinään haastaa kokelasta matemaattisesti enemmän kuin nuo kaksi tehtävää yhteensä.

Työskennellessäni ohjaajana yliopistomatematiikan johdatuskurssilla Helsingin yliopistolla juuri matemaattinen induktio oli oman kokemukseni mukaan ehdottomasti vaikein yksittäinen aihe kyseisellä kurssilla. Vaikka kurssin alussa opiskelijat eivät olisi kovin aktiivisesti käyneet ohjaustilaisuuksissa tekemässä tehtäviä, niin hieman kärjistäen induktiotodistukseen liittyvät tehtävät käytännössä aina korjasivat tämän ongelman.

Vaikka induktiotodistuksen idea olisikin ymmärretty, ongelmia esiintyi erityisesti induktioaskeleeseen liittyvien lausekkeiden pyörittelyssä. Jos induktiolla pitää todistaa erityisesti jokin epäyhtälö, kuten tässä tilanteessa, jossain vaiheessa saatetaan kohdata tilanne, jossa tiettyä lauseketta pitäisi arvioida ylös tai alas. Tällainen lausekkeiden arvioiminen on varmasti monelle lukiolaiselle haastavaa, koska siinä on monella vaikeuksia vielä yliopistossakin.

Koska B1-osan ensimmäinen taikaneliöön liittyvä tehtävä ja toinen pyörähdysparaboloidin laskemiseen liittyvä tehtävä ovat hyvin helposti lähestyttäviä ja suoraviivaisia, suurin osa kokelaista todennäköisesti valitsi ne. Koska B1-osassa on viisi tehtävää, joista tulee tehdä kolme, olettaen, että kokelas valitsi nuo kaksi edellistä, tästä osiosta piti valita enää yksi tehtävä.

Käytössä olevat laskinohjelmat tekevät suurelta osin nopeasti selvää sekä tehtävän 7 että tehtävän 9 alkuosista, kun taas induktiotodistuksen kohdalla ne voi suoraan heittää romukoppaan. Myös tehtävien 7 ja 9 loppuosat ovat mielestäni toimivia ja hyviä, mutta niiden alkuosat houkuttelevat hieman liian voimakkaasti, kun kolmannen tehtävän valintaa on mietitty. Tämän takia epäilen sinällään hyvän induktiotehtävän menneen valitettavasti ”hukkaan”.

Perushyvä B2-osa

B2-osa oli mielestäni perushyvä. Jo A-osan kohdalla mainituista funktioiden muunnoksista oli suurta hyötyä sekä tehtävässä 10 että tehtävässä 12. Jos funktioiden muunnokset ovat hyvin hallussa, tehtävän 12 ehdot toteuttavan polynomifunktion luomiseen menee alle minuutti. Allekirjoittaneen ajatuskulku eteni seuraavasti:

Toki tämän lisäksi tehtävässä tulee vielä näyttää laskutoimituksilla, että vaaditut ehdot toteutuvat. Kuitenkin tällaisella valinnalla on varsin helppo näyttää, että yhtälöllä P(x) = 1 on täsmälleen kaksi erisuurta ratkaisua ja että yhtälöllä P(x) = -1 taas neljä ratkaisua, mikä toteuttaa vaaditut ehdot.

Molemmat yhtälöt ovat ratkaistavissa käsin ilman sen suurempia vaikeuksia. Vaikka yhtälöt voidaan ratkaista elegantimmin ilman sulkujen avaamista, on syytä huomioida, että sulkujen avaaminen johtaa kahteen bikvadraattiseen yhtälöön, jotka ovat siis termin x² suhteen toista astetta. Tällaisten neljännen asteen yhtälöiden kanssa pärjätään aina. Jos olisin itse saanut päättää, jokin osa minusta olisi halunnut vaihtaa B1-osan induktiotodistukseen liittyvän tehtävän ja tämän polynomin keksimiseen liittyvän tehtävän paikat.